18+

Авторы Произведения Рецензии Поиск Магазин Вход для авторов О портале Стихи.ру Проза.ру

Портал Стихи.ру предоставляет авторам возможность свободной публикации своих литературных произведений в сети Интернет на основании пользовательского договора. Все авторские права на произведения принадлежат авторам и охраняются законом. Перепечатка произведений возможна только с согласия его автора, к которому вы можете обратиться на его авторской странице. Ответственность за тексты произведений авторы несут самостоятельно на основании правил публикации и законодательства Российской Федерации. Данные пользователей обрабатываются на основании Политики обработки персональных данных. Вы также можете посмотреть более подробную информацию о портале и связаться с администрацией.

Ежедневная аудитория портала Стихи.ру – порядка 200 тысяч посетителей, которые в общей сумме просматривают более двух миллионов страниц по данным счетчика посещаемости, который расположен справа от этого текста. В каждой графе указано по две цифры: количество просмотров и количество посетителей.

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад | Оглавление | Далее >>

Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой способ сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.

Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.

Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,

8 + 9 + 2,

мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:

8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.

Но математический язык — это язык строгих правил. Спрашивается: на основании какого правила мы можем произвольно менять порядок вычислений при нахождении суммы нескольких слагаемым? Мы знаем, например, свойство коммутативности (которое, на школьном языке, называется также перестановочным свойством сложения):

a + b = b + a.

Можем ли мы, опираясь на это свойство, написать

8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9,

то есть просто переставить местами девятку и двойку, подобно тому, как мы меняем местами переменные a и b? Оказывается, нет, не можем. Вспомним, что, собственно, означает запись

8 + 9 + 2.

Это, как мы раньше договорились, всего лишь упрощенный вариант более подробной записи

(8 + 9) + 2.

Коммутативность сложения означает, что мы можем переставлять местами два непосредственно складываемых друг с другом числа. То есть, мы можем написать так:

(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2,

или так:

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9),

или даже так:

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8),

однако при этом никак нельзя сделать так, чтобы восьмерка вначале складывалась с двойкой, а потом прибавлялась девятка. Коммутативность означает, что мы можем с одинаковым результатом либо кучку a придвинуть к кучке b, либо наоборот, кучку b придвинуть к кучке a, но коммутативность не позволяет произвольно выбирать пары кучек для слияния.

Как же быть? Мы должны вспомнить еще об одном свойстве сложения, а именно об ассоциативности (на школьном языке оно называется сочетательным свойством сложения):

(a + b) + c = a + (b + c).

Это свойство действительно позволяет менять порядок объединения кучек. Впрочем, далеко не произвольно. Мы теперь можем написать так:

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Если раньше мы должны были сперва обязательно складывать восьмерку и девятку, то теперь можем начать с того, чтобы сложить девятку и двойку. Но это же вовсе не то, к чему мы стремимся!

На самом деле, тут нужно воспользоваться обоими свойствами сразу. С помощью ассоциативности мы пришли к выражению

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Теперь воспользуемся коммутативностью и поменяем местами девятку и двойку:

8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9).

Далее, снова воспользуемся ассоциативностью:

8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9.

И наконец, перепишем конечное выражение в упрощенном виде:

(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9.

После многих усилий мы получили результат, который и без того с самого начала был очевиден. Зачем же это было нужно? А если нам понадобится посчитать более длинное выражение, например,

1 + 8 + 5 + 2 + 9,

нам тоже надо будет действовать по правилам? Разве мы не сможем сразу переписать его в удобном виде:

(9 + 1) + (8 + 2) + 5?

Вопросы резонные и в них следует хорошенько разобраться.

Начнем с того, что так уж устроена математика: ученые-математики вначале вводят хорошо продуманные правила, а потом неукоснительно им следуют. Другое дело, что нам с вами (пока еще не ученым), для того чтобы хорошо решать математические задачи, все эти правила знать необязательно. Я бы и не рассказывал вам ничего про коммутативность и ассоциативность, да только в школьных учебниках эти свойства (правда, под другим названием) выписаны жирным шрифтом и обведены в рамочку. При этом, однако, толком не объясняется, зачем они нужны и как их применять. Поэтому они моментально улетучиваются из памяти, что, в свою очередь, приводит к неприятностям на устных опросах и контрольных работах.

Так вот: нужны эти свойства для того, чтобы мы на законных основаниях могли по своему усмотрению менять порядок вычислений при нахождении суммы большого числа слагаемых. Разумеется, мы не будем всякий раз подробно расписывать шаг за шагом порядок применения этих свойств. Мы просто будем иметь в виду, что

Любое изменения порядка суммирования может быть, в принципе, получено на основании свойств коммутативности и ассоциативности.

Ни проверять, ни доказывать это общее утверждение мы сейчас не станем, а примем его, что называется, на веру. Вообще-то, настоящие ученые-математики ничего на веру не принимают, но мы с вами пока что еще не совсем настоящие ученые.

Теперь нам осталось уточнить еще один важный момент. Мы знаем, что складывать можно не только натуральные числа, но и целые, которые бывают и отрицательными. Спрашивается: если в сумме присутствуют отрицательные числа, то можно ли и в этом случае произвольно менять порядок суммирования?

Рассуждения с кучками монет нам теперь не помогут, потому что очень трудно представить себе кучку с отрицательным количеством монет. Но мы поступим на этот раз по-научному. Достаточно лишь убедиться, что свойства коммутативности и ассоциативности сохраняются и в случае произвольных целых чисел. И тогда из нашего общего утверждения (принятого на веру) со всей определенностью будет следовать, что порядок суммирования никак не влияет на значение суммы, даже если среди слагаемых есть отрицательные числа. Напомню, кстати, что любую разность можно переписать в виде суммы, например:

5 − 3 = 5 + (−3),
5 − (4 − 1) = 5 + (−4) + 1.

Задачи

2.6.1. Вычислить наиболее удобным способом:

24 + 15 + 6
9 + 43 + 11
12 + 16 + 8 + 4
35 + 33 + 15 + 7
и т.п.

2.6.2. Вычислить наиболее удобным способом:

63 + 29 − 3
38 + 14 − 8
25 − 17 − 15 + 37
190 − 3 − 90 + 13
−23 + 69 + 33 − 9
и т.п.

2.6.3. Дана пара выражений. Вычислить значение того из них, для которого это сделать проще.

Татьяна Бакун
Урок математики в 1 классе «Перестановка слагаемых»

Тема: Перестановка слагаемых.

Цель: посредством наблюдения вывести правило о том, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется; способствовать развитию внимания, наблюдательности; закреплению умения прибавлять и вычитать числа 1, 2, 3, 4.

Планируемые результаты (предметные): знать правило о том, что от перестановки слагаемых сумма не изменяется; уметь прибавлять и вычитать числа 1, 2, 3, 4.

Универсальные учебные действия (метапредметные):

Регулятивные: уметь осуществлять контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона.

Коммуникативные: уметь участвовать в диалоге на уроке и в жизненных ситуациях; отвечать на вопросы учителя, товарищей по классу;соблюдать простейшие нормы речевого этикета: здороваться, прощаться, благодарить; слушать и понимать речь других; осуществлять работу в паре.

Познавательные:уметь делать предварительный отбор источников информации: ориентироваться в учебнике (на развороте, в оглавлении, в словаре); самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи, состоящей из 1–2 шагов.

Личностные: положительно относятся к школе и имеют адекватное представление о ней.

Тип урока: изучение нового материала.


От перемены мест слагаемых сумма не меняется?!
От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Кто не знает этой азбуч6ой истины, вдолбленной в наши головы ещё в начальных классах? Ой, ли? Так уж и не меняется? Но любое утверждение должно быть доказано, по крайней мере именно так нам говорили учителя по математике, так они нас учили. Так вот, попробую ка я доказать вам, что это не так! Итак, напишем уравнение:
А+В=С (1)
И ещё одно:
В+А=С (2)
Ошибки нет? Конечно же, нет – всё очень даже правильно! А теперь напишем ещё два уравнения, это:
ВЛАДИМИР+ПЕТРОВИЧ+РУБЦОВ=ЭТО-Я (3)
И это:
ВЛАДИМИР+РУБЦОВ+ПЕТРОВИЧ=ЭТО-Я (4)
Обратите внимание, уважаемые, на уравнение, написанное первым (3) – в нём всё правильно: Владимир Петрович Рубцов – это именно я. Я именно так и подпишу данную статью. И это будет правильно, я даже не побоюсь сказать так: «Архиправильно!». А теперь обратите внимание на следующее уравнение (4). Обратили? Так вот, что мне скажут читатели, если я именно так подпишу свою статью – «Владимир Рубцов Петрович»? Мне почти каждый, даже самый что ни на есть, последний двоечник от математики скажет, что я ошибся в написании. А что же я, собственно, такого сделал? Я, взял и, просто-напросто, поменял местами слагаемые, … и всё сразу так изменилось! Это равносильно, как телегу поставить впереди лошади, и даже не впереди, а … посередине!!! Да и само выражение «Поставить телегу впереди лошади», тоже является доказательством того, что от перемены мест «слагаемых», «сумма», всё же меняется – ездить на таком транспорте неудобно становится! Так что же, всё же, изменилось в нашей сумме? Качество изменилось, друзья мои, качество! А это значит, что вышеназванное утверждение «От перемены мест слагаемых сумма не меняется» надо уточнить и записать в следующей редакции: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется, но меняется её качество»! Так то!!!
Владимир Петрович Рубцов. 24.02.2009г. UN7BV. Астана. Казахстан.

– Должен заметить, в этом что-то есть… Какое-то особое изящество, плавность, – мистер Салтон лениво, словно нехотя выпустил к потолку тонкую синеватую струйку дыма, любуясь прихотливыми формами, в которые он тут же стал скручиваться, повинуясь легчайшим касаниям воздуха. – И заметьте, какой точный изгиб, – согласился с ним мистер Оукли. – Словно специально выточен под форму ноги. Мистер Оукли не курил, но в его ладони грелся в пузатом хрустале коньяк, которым очень гордился мистер Салтон. Гордился и ревностно оберегал секрет изготовления. И было что беречь, на взгляд мистера Оукли. Благородный напиток приятно дразнил, бархатом прокатываясь по языку, согревал и полнился непередаваемыми нотами шоколада, вишни и чего-то неуловимо дымного. В прошлый приезд мистер Оукли в очередной раз пытался угадать, что придает напитку этот дурманящий аромат, предположил, что его выдерживают в особых копченых бочках. Но, конечно, мистер Салтон лишь снова покачал головой и развел руками, заметив, что упорство друга прямо-таки похвально. – Мне очень нравится. На вид словно нежнейший бархат… – А вы попробуйте кожей. – Если вы не возражаете… Оукли не возражал, и Салтон скинул мягкие домашние туфли и коснулся обнаженной ступней теплой мягкой кожи, провел по ней вдоль и наконец вновь скрестил ноги на удобной высоте. – Цвет-то какой изысканный, вы внимание обратили? Тёплый, так и ласкает взгляд. – И где, позвольте спросить, вы отыскали такой необычный оттенок? Неужели специально везли? – Специально, как же иначе, по другому и быть не может, – изысканный вкус Оукли был известен на всю округу, и поддерживал он эту славу, крайне щепетильно относясь к мельчайшим деталям. – Когда корсиканец посадил на трон креолку, все островное вошло в моду. И можете мне поверить, мода эта держится по сей день. – Вы правы, да, я ведь, надо признать, тоже заметил это веянье. Вот и последние кружева миссис Салтон выписала из Парижа именно цвета топленого молока, – Салтон поражался как тонко у иных натура работает, ничего не пропускает. Для настоящего ценителя нет мелочей. Одновременно смущаясь и поражаясь своей наглости, он нагнулся рассмотреть укромные места, но и там обнаружил идеальный цвет. – И как же вы смогли? – Наняли лучшего мастера и осветляли кожу до нужного оттенка для равномерности. В несколько приемов занимались. Но как – не спрашивайте, – отмахнулся небрежно Оукли. – Я в такие дела не вникаю. Мне недосуг, главное, результат-то какой, а? – Потрясающий результат, – проклиная мгновенно расцветающий на щеках фамильный румянец смущения, Салтон деланно небрежно склонился, чтобы еще раз бросить взгляд на идеальную кожу. – Надушил вот тоже специально. Помните, вы спрашивали чем мой дворецкий перчатки ароматизирует? – А вы тогда сказали, что в обмен на секрет моего коньяка скажете, – азартно блеснул глазами мистер Салтон, неужели он узнает, что за будоражащий запах, от которого так и вздыхали юные дамы и джентльмены, использовал мистер Оукли. – Ах вы, хитрый лис, думаете я вам так запросто скажу? Нет! Но насладиться вы можете, понюхайте, понюхайте. Никакой синтетический мускус так не облагородит букет. Поверьте, невежды зря кричат, что традиционные вещи устарели. Пусть отдадут свои реагенты аптекарям и оставят парфюмерию в покое. Я слышал даже Пентхалигонс начали грешить синтезированными ароматами, – Оукли сделал большой глоток коньяка, желая смыть даже воспоминание о подобном кощунстве благороднейшим напитком. Мистер Салтон надеялся, что выглядит не слишком смешно, встав на колени и уткнувшись носом в мягкий изгиб разогретой от прикосновений кожи. Удовольствие заставило его прикрыть глаза. За закрытыми веками, словно иллюстрации аромата, пронеслись картинки колышущегося под знойным небом флердоранжа и тонкого запястья, ломающего цветущую ветвь. Одновременно тянуло ладаном, напоминая о грехе и вечной жизни и расплате за соблазн. Аромат рассказывал свою историю, нежная кожа просила прикосновений. Мистер Салтон заинтересовался не испортило ли упомянутое отбеливание тактильные ощущения от кожи. Но совсем уж откровенно ощупывать чужую вещь, пусть и с разрешения хозяина, он все же счел неприличным. – Изумительно, правда? – мистер Оукли склонился к замершему другу. – Запомните, что я говорю, мускус всегда только натуральный. – Я восхищен, Боже, храни королеву и колонии, но это лучшее, что я видел у себя под ногами. – И это, дорогой Салтон, не учитывая её практичности. Знаете, я не одобряю излишней расточительности. Можно любить моду, но не годится во всем подражать французам. Кроме того, что она прекрасна, еще может служить стульчиком на охоте, с неё можно сесть в седло. Эта кожа хоть и невероятно нежная, но прочная и крепкая. – Ну, последнее не уникально, – мистер Салтон посмотрел на чайный столик. Они с Оукли обычно предпочитали коньяк в это время суток, но чай всегда должен быть у доброго англичанина под рукой. – Некоторые вещи тем и хороши, что они многофункциональны. А лучше всех с этим справляются швейцарцы. Я показывал вам нож, который привёз с континента мой племянник? Кроме лезвия там есть вилка, небольшая пилка и, только представьте, маникюрный наборчик – прекрасная вещь для джентльмена. – Действительно отлично, – кивнул Оукли. – И как вы могли не показать мне столь чудную вещицу? Хотите быть единственным владельцем в графстве? Швейцарский нож – игрушка весьма достойная, и все же пока моя прелесть вне конкуренции. – Вне, бесспорно вне. А свечи? Даже на чайный столик можно поставить подсвечник. Я люблю читать по вечерам, недавно мне прислали прекрасный экземпляр «Сатирикона». – Это там, где римского сенатора уличали в любви к геммам? Я, право, могу его понять, иногда чистые изысканные линии будят во мне бурю чувств. И свечи, конечно, можно, они не портят кожу. Иногда я специально поливаю её воском, чтобы умастить. Но свечи стоит брать исключительно восковые, оставьте этот вульгарный низкопробный стеарин для лавочников. – В этом я с вами согласен. Но, пожалуй, для того, чтобы поставить свечу, сойдёт и чайный столик. – Уговаривайте себя, дорогой Салтон, уговаривайте. Разве их можно сравнивать. Это все равно, что сравнивать истинное произведение искусства и отлично сделанную ремесленником вещь. Обратите внимание на этот изгиб – он как венец, линия, продолжающая золотое сечение. Чайный столик грубоват, да, крепкий, надёжный, но слишком британский. В нем нет шика и утонченности. – Вы невыносимы, мистер Оукли, знаете, что я не могу устоять. Знаете, что я хочу любоваться этим завитком, изгибом и выбеленной в самых нежных местах кожей – и все равно дразните меня. Ну примите вы ставку, будьте человеком! – Значит, пари? Моя саба против вашего саба плюс рыжий жеребенок от Молнии и бутылка вашего превосходного коньяка. – Вы ужасный человек, мистер Оукли, но хорошо. Ставлю передачу своего саба на неделю, жеребёнка и бутылку коньяка против недели с вашей сабой на то, что принц Эдуард, герцог Кентский, не рискнет назвать новый фрегат именем своей Домины. – Принимаю, но вы рискуете, мисс Вирджиния настойчивая дама. Я ею восхищаюсь, между прочим. – Я тоже, – мистер Салтон обвел выбившийся из причёски сабы локон, мягко лежащий поверх ошейника на тонкой шее. – Но этот завиток, ей богу, окончательно свел меня с ума. – А ведь члены так называемого нормального общества посчитали бы, что с ума вы сошли давно. – Как и вы, дорогой Оукли, как и вы… – И почему мне не жаль? Ну все, время вышло. Верните мне мою скамеечку. Мистер Салтон со вздохом легонько похлопал сабочку по аппетитному бедру, позволяя ей вернуться к хозяину, и поманил к себе своего мальчика с подносом, на котором красовался тончайший фарфор. Определенно, самое время выпить чашечку чая.

About the author

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *